11 enero, 2011

Algunas de las matemáticas de la nieve

http://www.migui.com/ciencias/matematicas/algunas-de-las-matematicas-de-la-nieve.htmlAlgunas de las matemáticas de la nieve: "
Creo que, a estas alturas, lo que no se haya escrito ya de fractales y esté disponible por internet, está por inventar. Así que no es mi intención hacer de esta una entrada wikipediesca si me permiten el palabro sino más bien, contextualizar un poco antes de meternos en el tema de la nieve, que es lo que a fin de cuentas me interesa contar en este post.


La palabra “nieve” nos trae a la mente ese paisaje teñido de un velo blanco intemporal e incorrupto, forjado a base de innumerables copos de nieve que van cayendo lenta y delicadamente, posándose sin prisa pero sin pausa hasta que cubren todo el paisaje. Esta forma de agua tan aparentemente mágica y bella sin ninguna duda tiene su origen microscópico en esos pequeños cristales de hielo de apariencia tan frágil y que esconde una sorprendente belleza geométrica que contrasta con lo que vemos a nuestra escala, una masa amorfa y moldeable de color blanco y muy fría. Sin embargo, el mundo microscópico a veces, parece sacado de la ciencia ficción.



Es una pequeña conspiración en la que el agua, en los tres estados principales de la materia se alían para esculpir los copos de nieve. Y es que un copo de nieve, para formarse, sufre un proceso bastante peculiar que les lleva a tener todo tipo de formas (véase por ejemplo, Geometría de los copos de nieve, Recuerdos de Pandora, Marzo 2010).

El hielo conforma el esqueleto, una matriz que determina la forma que va a adquirir. Después, su crecimiento puede diferir pero tiene la estructura de un fractal.

Un fractal es una figura geométrica (y con perdón de la rigurosidad matemática) cuya forma se repite con independencia de la escala de tamaño con la que se le observe. El concepto de “autosimilar” en un fractal se refiere a que por mucho que ampliemos la imagen y nos adentremos en las entrañas del fractal veremos, en su interior, el mismo patrón de formas una y otra vez, hasta el infinito.

Fueron estudiados por el gran (y recientemente fallecido) Benoît Mandelbrot y en ellos subyace una gran parte de la naturaleza de la nieve.

Uno de los fractales más básicos y que es el que más nos recuerda a un copo de nieve es la llamada Curva de Koch.

Se trata de un fractal que se genera a partir de un segmento que se divide en tres. El segmento central se sustituye por dos segmentos de igual longitud que el segmento central (un tercio) cada uno, formando un ángulo de 60 grados y el proceso se repite de forma indefinida. Lo que tenemos es la construcción del copo de nieve de Koch. Es la idea anterior colocando el segmento inicial como lado de un triángulo equilátero para acabar generando esto, que son las siete primeras iteraciones del copo de nieve de Koch:


Para lo sencillo que es tiene una similitud sorprendente con la imagen de un copo de nieve ¿verdad?

Pues bueno, lo cierto es que la curva de Koch no es el único fractal relacionado con la nieve. También está la llamada esponja de Menger.

Se trata de un fractal que se construye a partir de un cubo en el cual se van practicando, en sucesivas iteraciones, un proceso que lo va vaciando progresivamente. Se subdivide cada cara del cubo inicial en 9 partes y se elimina la del medio de tal manera que se vacía toda esa parte del cubo. Y el proceso se repite con cada uno de los 27 cubos en los que queda dividido el inicial. Y así, sucesivamente para terminar con un fractal que tiene esta pinta:


En este reciente paper: Snow metamorphism: a fractal approach, Carbone et. al., Dec 2010; Arxiv.org se nos cuenta que dado que la estructura interna de los copos de nieve es un asunto aún abierto, se pueden utilizar modelos de estructura para su densidad y una posibilidad es hacerlo considerándolo como una esponja de Menger por las características de porosidad y densidad que muestra la nieve. He visto el paper y me pareció interesante dedicarle una breve entrada.

Después, para considerar el crecimiento aleatorio de la estructura se utiliza también un crecimiento fractal a partir del movimiento browniano fraccional. El movimiento browniano fue uno de los trabajos publicados por Einstein en 1905 y que fue fundamental. Se trata del movimiento aleatorio que se observa en partículas en suspensión en el seno de un fluido (por ejemplo el pólen en el agua) y que se tiene que explicar considerando que el agua está formada por una infinidad de moléculas que colisionan entre sí y se agitan empujándose algunas y frenándose otras entre sí, ocasionando que una partícula muy pequeña que flote en ese medio pueda notar estas pequeñas oscilaciones y moverse a causa de las mismas.

En el contexto del crecimiento de un fractal lo que hace este tipo de patrones es deformarlo de manera aleatoria alejándolo de la perfección matemática. Una descripción más profunda sobre el movimiento browniano y su aplicación a los fractales lo podéis encontrar en este enlace de la Universidad de A Coruña.

Por lo demás, para entender el paper en su extensión hace falta conocer más en profundidad las matemáticas fractales y tener nociones de física de la materia condensada.





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